สรุปเรื่อง Tree
ทรี เป็นโครงสร้างข้อมูลที่ความสัมพันธ์ระหว่าง โหนดจะมีความสัมพันธ์ลดหลั่นกันเป็นลำดับชั้น แต่ละโหนดจะมีความสัมพันธ์กับโหนดในระดับที่ต่ำลงมา หนึ่งระดับได้หลาย ๆ โหนดเรียกโหนดดังกล่าวว่า โหนดแม่ (Parent or Mother Node)
โหนดที่อยู่ต่ำกว่าโหนดแม่อยู่หนึ่งระดับเรียกว่า โหนดลูก (Child or Son Node)
โหนดที่อยู่ในระดับสูงสุดและไม่มีโหนดแม่เรียกว่า โหนดราก (Root Node)
โหนดที่มีโหนดแม่เป็นโหนดเดียวกันเรียกว่า โหนดพี่น้อง (Siblings)
โหนดที่ไม่มีโหนดลูก เรียกว่าโหนดใบ (Leave Node)
เส้นเชื่อมแสดงความสัมพันธ์ระหว่างโหนดสองโหนดเรียกว่า กิ่ง (Branch)
นิยามของทรี
1. นิยามทรีด้วยนิยามของกราฟ
ทรี คือ กราฟที่ต่อเนื่องโดยไม่มีวงจรปิด (loop) ในโครงสร้าง โหนดสองโหนดใด ๆ ในทรีต้องมีทางติดต่อกันทางเดียวเท่านั้น และทรีที่มี N โหนด ต้องมีกิ่งทั้งหมด N-1 เส้น
การเขียนรูปแบบทรี อาจเขียนได้ 4แบบคือ
1แบบที่มีรากอยู่ด้านบน
2แบบที่มีรากอยู่ด้านล่าง
3แบบที่มีรากอยู่ด้านซ้าย
4แบบที่มีรากอยู่ด้านขวา
2. นิยามทรีด้วยรูปแบบรีเคอร์ซีฟ
ทรีประกอบด้วยสมาชิกที่เรียกว่าโหนด โดยที่ ถ้าว่าง ไม่มีโหนดใด ๆ เรียกว่านัลทรี (Null Tree) และถ้ามีโหนดหนึ่งเป็นโหนดราก ส่วนที่เหลือจะแบ่งเป็นทรีย่อย (Sub Tree)
T1, T2, T3,…,Tk โดยที่ k>=0 และทรีย่อยต้องมีคุณสมบัติเป็นทรี
นิยามที่เกี่ยวข้องกับทรี
1. ฟอร์เรสต์ (Forest)หมายถึง กลุ่มของทรีที่เกิดจากการเอาโหนดรากของทรีออกหรือ เซตของทรีที่แยกจากกัน(Disjoint Trees)
2. ทรีที่มีแบบแผน (Ordered Tree)หมายถึง ทรีที่โหนดต่าง ๆ ในทรีนั้นมีความสัมพันธ์ที่แน่นอน เช่น ไปทางขวาไปทางซ้าย เป็นต้น
3. ทรีคล้าย (Similar Tree) คือทรีที่มีโครงสร้างเหมือนกัน หรือทรีที่มีรูปร่างของทรีเหมือนกัน โดยไม่คำนึงถึงข้อมูลที่อยู่ในแต่ละโหนด
4. ทรีเหมือน (Equivalent Tree) คือทรีที่เหมือนกันโดยสมบูรณ์ โดยต้องเป็นทรีที่
คล้ายกันและแต่ละโหนดในตำแหน่งเดียวกันมีข้อมูลเหมือนกัน
5. กำลัง (Degree) หมายถึงจำนวนทรีย่อยของโหนด
6. ระดับของโหนด (Level of Node) คือระยะทางในแนวดิ่งของโหนดนั้น ๆ ที่อยู่ห่างจากโหนดราก
การแทนที่ทรีในหน่วยความจำหลัก
1. โหนดแต่ละโหนดเก็บพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนดลูกทุกโหนด การแทนที่ทรีด้วยวิธีนี้ จะให้จำนวนฟิลด์ในแต่ละโหนดเท่ากันโดยกำหนดให้มีขนาดเท่ากับจำนวนโหนดลูกของโหนดที่มีลูกมากที่สุด โหนดใดไม่มีโหลดลูกก็ให้ค่าพอยเตอร์ในลิงค์ฟิลด์นั้นมีค่าเป็น Nullและให้ลิงค์ฟิลด์แรกเก็บค่าพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนด ลูกลำดับที่หนึ่ง ลิงค์ฟิลด์ที่สองเก็บค่าพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนดลูกลำดับที่สอง และลิงค์ฟิลด์อื่นเก็บค่าพอยเตอร์ของโหนดลูกลำดับ ถัดไปเรื่อย ๆ
การแทนทรีด้วยโหนดขนาดเท่ากันค่อนข้างใช้เนื้อที่จำนวนมาก เนื่องจากแต่ละโหนดมีจำนวนโหนดลูกไม่เท่ากันหรือบางโหนดไม่มีโหนดลูกเลยถ้าเป็นทรีที่แต่ละโหนดมีจำนวนโหนดลูกที่แตกต่างกันมาก จะเป็นการสิ้นเปลืองเนื้อที่ในหน่วยความจำโดยเปล่าประโยชน์
2. แทนทรีด้วยไบนารีทรี
เป็นวิธีแก้ปัญหาเพื่อลดการ สิ้นเปลืองเนื้อที่ในหน่วยความจำก็คือกำหนดลิงค์ฟิลด์ให้มีจำนวนน้อยที่สุดเท่าที่จำเป็นเท่านั้นโดยกำหนดให้แต่ละโหนดมีจำนวนลิงค์ฟิลด์สองลิงค์ฟิลด์
-ลิงค์ฟิลด์แรกเก็บที่อยู่ของโหนดลูกคนโต
-ลิงค์ฟิลด์ที่สองเก็บที่อยู่ของโหนดพี่น้องที่เป็นโหนดถัดไปโหนดใดไม่มีโหนดลูกหรือไม่มีโหนดพี่น้องให้ค่าพอยน์เตอร์ในลิงค์ฟิลด์มีค่าเป็น Null
โครงสร้างทรีที่แต่ละโหนดมีลิงค์ฟิลด์แค่สองลิงค์ฟิลด์ ซึ่งช่วยให้ประหยัดเนื้อที่ในการจัดเก็บได้มาก เรียกโครงสร้างทรีที่แต่ละโหนดมีจำนวนโหนดลูกไม่เกินสองหรือแต่ละโหนดมีจำนวน
ทรีย่อยไม่เกินสองนี้ว่า ไบนารีทรี (Binary Tree)ไบนารีทรีที่ทุก ๆ โหนดมีทรีย่อยทางซ้ายและ
ทรีย่อยทางขวา ยกเว้นโหนดใบ และโหนดใบทุกโหนดจะต้องอยู่ที่ระดับเดียวกันเรียกว่า ไบนารีทรีแบบสมบูรณ์ (complete binary tree)สามารถคำนวณจำนวนโหนดทั้งหมดในไบนารีทรีแบบสมบูรณ์ได้ถ้ากำหนดให้ L คือระดับของโหนดใด ๆ และN คือจำนวนโหนดทั้งหมดในทรีจะได้ว่า
ระดับ 1 มีจำนวนโหนด 1 โหนด
ระดับ 2 มีจำนวนโหนด 3 โหนด
ระดับ 3 มีจำนวนโหนด 7 โหนด
การแปลงทรีทั่วไปให้เป็นไบนารีทรี
ขั้นตอนการแปลงทรีทั่วๆ ไปให้เป็นไบนารีทรี มีลำดับขั้นตอนการแปลง ดังต่อไปนี้
1. ให้โหนดแม่ชี้ไปยังโหนดลูกคนโตแล้วลบความสัมพันธ์ระหว่างโหนดแม่และโหนดลูกอื่น ๆ
2. ให้เชื่อมความสัมพันธ์ระหว่างโหนดพี่น้อง
3. จับให้ทรีย่อยทางขวาเอียงลงมา 45 องศา
การท่องไปในไบนารีทรี
ปฏิบัติการที่สำคัญในไบนารีทรี คือ การท่องไปในไบนารีทรี (Traversing Binary Tree) เพื่อเข้าไปเยือนทุก ๆโหนดในทรี ซึ่งวิธีการท่องเข้าไปต้องเป็นไปอย่างมีระบบแบบแผน สามารถเยือนโหนดทุก ๆ โหนด ๆ ละหนึ่งครั้งวิธีการท่องไปนั้นมีด้วยกันหลายแบบแล้วแต่ว่าต้องการลำดับ
ขั้นตอนการเยือนอย่างไร โหนดที่ถูกเยือนอาจเป็นโหนดแม่ (แทนด้วย N)ทรีย่อยทางซ้าย (แทนด้วย L)หรือทรีย่อยทางขวา (แทนด้วย R)มีวิธีการท่องเข้าไปในทรี 6 วิธี คือ NLR
LNR LRN NRL RNL และ RLN แต่วิธีการท่องเข้าไปไบนารีทรีที่นิยมใช้กันมากเป็นการท่องจากซ้ายไปขวา 3 แบบแรกเท่านั้นคือ NLR LNR และ LRN ซึ่งลักษณะการนิยามเป็นนิยามแบบ รีเคอร์ซีฟ(Recursive) ซึ่งขั้นตอนการท่องไปในแต่ละแบบมีดังนี้
1. การท่องไปแบบพรีออร์เดอร์(Preorder Traversal)เป็นการเดินเข้าไปเยือนโหนดต่าง ๆ ในทรีด้วยวิธีNLR มีขั้นตอนการเดินดังต่อไปนี้
(1) เยือนโหนดราก
(2) ท่องไปในทรีย่อยทางซ้ายแบบพรีออร์เดอร์
(3) ท่องไปในทรีย่อยทางขวาแบบพรีออร์เดอร์
2.การท่องไปแบบอินออร์เดอร์(Inorder Traversal)เป็นการเดินเข้าไปเยือนโหนดต่าง ๆในทรีด้วยวิธี LNRมีขั้นตอนการเดินดังต่อไปนี้
(1) ท่องไปในทรีย่อยทางซ้ายแบบอินออร์เดอร์
(2) เยือนโหนดราก
(3) ท่องไปในทรีย่อยทางขวาแบบอินออร์เดอร์
3. การท่องไปแบบโพสออร์เดอร์(Postorder Traversal)เป็นการเดินเข้าไปเยือนโหนดต่าง ๆ
ในทรีด้วยวิธี LRN มีขั้นตอนการเดินดังต่อไปนี้
(1) ท่องไปในทรีย่อยทางซ้ายแบบโพสต์ออร์เดอร์
(2) ท่องไปในทรีย่อยทางขวาแบบโพสต์ออร์เดอร์
(3) เยือนโหนดราก
เอ็กซ์เพรสชันทรี (Expression Tree)เป็นการนำเอาโครงสร้างทรีไปใช้เก็บนิพจน์ทางคณิตศาสตร์โดยเป็นไบนารีทรี
ความสำคัญของเครื่องหมายด้วยโดยมีความสำคัญตามลำดับดังนี้
- ฟังก์ชัน
- วงเล็บ
- ยกกำลัง
- เครื่องหมายหน้าเลขจำนวน (unary)
- คูณ หรือ หาร
- บวก หรือ ลบ
- ถ้ามีเครื่องหมายที่ระดับเดียวกันให้ทำจากซ้ายไปขวา
ไบนารีเซิร์ชทรี (Binary Search Tree)เป็นไบนารีทรีที่มีคุณสมบัติที่ว่าทุก ๆ โหนดในทรี ค่าของโหนดรากมีค่ามากกว่าค่าของทุกโหนดในทรีย่อยทางซ้าย และมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าของทุกโหนดในทรีย่อยทางขวาและในแต่ละทรีย่อยก็มี คุณสมบัติเช่นเดียวกันปฏิบัติการในไบนารีเซิร์ชทรี ปฏิบัติการเพิ่มโหนดเข้าหรือดึงโหนดออกจากไบนารีเซิร์ชทรีค่อนข้างยุ่งยากกว่าปฏิบัติการในโครงสร้างอื่น ๆเนื่องจากหลังปฏิบัติการเสร็จเรียบร้อยแล้วต้องคำนึงถึงควาเป็นไบนารีเซิร์ชทรีของทรีนั้นด้วยซึ่งมีปฏิบัติการดังต่อไปนี้
(1) การเพิ่มโหนดในไบนารีเซิร์ชทรี การเพิ่มโหนดใหม่เข้าไปในไบนารีเซิร์ชทรี ถ้าทรีว่างโหนดที่เพิ่มเข้าไปก็จะเป็นโหนดรากของทรี ถ้าทรีไม่ว่างต้องทำการตรวจสอบว่าโหนดใหม่
ที่เพิ่มเข้ามานั้นมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าค่าที่โหนดราก ถ้ามีค่ามากกว่าหรือเท่ากันจะนำโหนดใหม่ไปเพิ่มในทรีย่อยทางขวาและถ้ามีค่าน้อยกว่านำโหนดใหม่ไปเพิ่มในทรีย่อยทางซ้ายในทรีย่อยนั้นต้องทำการเปรียบเทียบในลักษณะเดียวกันจนกระทั่งหาตำแหน่งที่สามารถเพิ่มโหนดได้ ซึ่งโหนดใหม่ที่เพิ่มในทรีในที่สุดจะต้องเป็นโหนดใบ
(2) การดึงโหนดในไบนารีเซิร์ชทรีหลังจากดึงโหนดที่ต้องการออกจากทรีแล้วทรีนั้นต้องคงสภาพไบนารีเซิร์ชทรีเหมือนเดิมก่อนที่จะทำการดึงโหนดใด ๆ ออกจากไบนารีเซิร์ชทรี ต้องค้นหาก่อนว่าโหนดที่ต้องการดึงออกอยู่ที่ตำแหน่งไหนภายในทรีและต้องทราบที่อยู่ของโหนดแม่โหนดนั้นด้วยแล้วจึงทำการดึงโหนดออกจากทรีได้
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น